При покупке билетов из Екатеринбурга до Москвы и обратно на группу детей разного возраста: от 6лет до 10лет, кассир оформил на ребёнка 9 лет школьный, по справке, а не детский билет. Сейчас просим переоформить билет, разница оказалась в 1100рублей. С нас требуют заплатить за переоформление каждого билета по 150 руб. Кто должен платить _родители или кассир

Сложно сказать, кто должен платить.
С одной стороны кассир мог бы вам сообщить, что на ребенка 9 лет можно оформить детский билет, с другой вы предоставили на него справку из школы и кассир в соответствии с ней оформил школьный билет (не стал проверять сколько ребенку лет).
В любом случае по правилам РЖД вы должны были проверить билеты после оформления. При обнаружении ошибки кассир может погасить этот билет без штрафа в течении часа после оформления.